Grundbegriffe Der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Zweck des vorliegenden Heftes ist eine axiomatische Begründung der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Der leitende Gedanke des Verfassers war dabei, die Grundbegriffe der-Wahrscheinlichkeitsrechnung, welche noch unHlngst für ganz eigenartig galten, natürlicherweise in die Reihe der allgemeinen Begriffsbildungen der modemen Mathematik ein zuoTl:inen. Vor der Entstehung der LEBEsGuEschen Maß- und Inte grationstheorie war diese Aufgabe ziemlich hoffnungslos. Nach den LEBEsGuEschen Untersuchungen lag die Analogie zwischen dem Maße einer Menge und der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses sowie zwischen dem Integral einer Funktion und der mathematischen Erwartung einer zufälligen Größe auf der Hand. Diese Analogie ließ sich auch weiter fortführen: so sind z. B. mehrere Eigenschaften der unabhängigen zufälligen Größen den entsprechenden Eigenschaften der orthogonalen Funktionen völlig analog. Um, ausgehend von dieser Analogie, die Wahrscheinlichkeitsrechnung zu begründen, hätte man noch die Maß und Integrationstheorie von den geometrischen Elementen, welche bei LEBESGUE noch hervoitreten, zu befreien. Diese Befreiung wurde von FRtcHET vollzogen. Der diesen allgemeinen Gesichtspunkten entsprechende Aufbau der Wahrscheinlichkeitsrechnung war in den betreffenden mathematischen Kreisen seit einiger Zeit geläufig; es fehlte jedoch eine vollständige und von überflüssigen Komplikationen freie Darstellung des ganzen Systems (es befindet sich allerdings ein Buch von FRtcHET (Literatur verzeichnis'[2]) in Vorbereitung). Ich möchte hier noch auf diejenigen Punkte der weiteren Darstel lung hinweisen, welche außerhalb des erwähnten, den Kennern ver trauten Ideenkreises liegen. Diese Punkte sind die folgenden: Wahr scheinlichkeitsverteilungen in unendlich-dimensionalen Räumen (drittes Kap. , §4), Differentiation und Integration der mathematischen Er wartungen nach einem Parameter (viertes Kap.